Пути правильного безошибочного решения показательных, логарифмических уравнений и неравенств в профильной математике

Автор: Бобок Вероника Сергеевна

Организация: МАОУ СОШ № 35 г. Анапа

Населенный пункт: Краснодарский край, г. Анапа

 Аннотация: Показательные и логарифмические функции, а также показательные уравнения и неравенства встречаются в заданиях единого государственного экзамена. Задания по данной теме присутствуют как в базовом, так и в профильном уровнях экзамена. Зачастую, в большинстве случаев они вызывают затруднения у учащихся, так как требуют высокого уровня подготовки. В связи изучению этой темы должно быть уделено особое внимание в школьном курсе математики.

Ключевые слова: функция, логарифмы, показательные уравнения и неравенства; свойства логарифмов; ОДЗ (область допустимых значений), показатель степени, основание логарифма.

Практически на всех письменных экзаменах по математике профильного уровня выпускникам предлагаются задания, которые требуют умения решать уравнения или неравенства, содержащие неизвестную величину под знаком логарифма или в показатели степени. Опыт экзаменов показывает, что многие выпускники не зная, как подступиться к таким уравнениям или неравенствам, производят над ними не совсем осознанные, а то и просто бессмысленные действия и допускают по ходу решения многочисленные ошибки.

В настоящей статье рассмотрим преобразования, которые приводят на наш взгляд, к наиболее сильному упрощению показательных и логарифмических уравнений и неравенств. Такие преобразования, как правило, необходимы для того, чтобы в конце концов получить ответ в задаче. Поэтому важно научиться выполнять их в той или иной форме легко и безошибочно.

Отбрасывание степени в левой и правой частях уравнения или неравенства одного и того же основания степени.

Отбрасывание в левой и правой частях уравнения или неравенства логарифма по одному и тому же основанию.

Если левая часть уравнения или неравенства имеет вид logF(x), а правая вид log G(x), то можно перейти к уравнению или соответственно неравенству, левая и правая части которого равны  F(x) и G(x). При этом, как и в случае преобразования, рассмотренного в п.1. нужно помнить о следующем, при отбрасывании в неравенстве логарифма по основанию, меньшему 1, знак неравенства необходимо поменять. Этот факт вытекает из свойства монотонности логарифмической функции.

Указанное преобразование обычно приводят к расширению ОДЗ, поскольку выражения, стоявшие прежде под знаками логарифма, после отбрасывания этих знаков могут принимать, вообще говоря, и неположительные значения. Игнорирование этого факта очень часто является причиной грубых ошибок на экзамене. В связи с этим особое значение приобретает следующее основное правило: к уравнению или неравенству, полученному в результате отбрасывания логарифма, следует добавить условия положительности обеих его частей. Заметим, что в действительности по меньшей мере одно (не всегда любое) из двух добавленных согласно основному правилу условий непременно можно отбросить, если внимательно приглядеться к полученной системе.

 

Непосредственное логарифмирование и потенцирование уравнений или неравенств.

Эти операции, производятся следующим образом: выбирается подходящее положительное число а, отличное от 1, и к каждой из двух частей уравнения или неравенства дописывается либо логарифмы по основанию а (при логарифмировании), либо просто число а в качестве основания степени (при потенцировании). При этом, если а ˂ 1 и операция производится над неравенством, то знак неравенства меняется.

Логарифмирование и потенцирование представляют по существу другую форму преобразований, описанных в п.1 и п.2 соответственно. Действительно, отбрасывание основания степени можно осуществить взятием от обеих частей уравнения или неравенства логарифмической функции, а отбрасывание логарифма – взятие показательной функции.

 

Представление выражения в виде логарифма или степени с заданным основанием.

Пусть некоторые части уравнения или неравенства уже представляют собой логарифмы или степени с некоторым основанием а (здесь и ниже считаем число а положительным и отличным от 1), а другие – ещё нет. В этой ситуации могут оказаться полезными преобразования, опирающиеся на формулы.

Преобразование суммы или разности логарифмов, произведения или частного степеней. Эти преобразования производятся с помощью формул и позволяют объединять несколько выражений, в один логарифм или соответственно в одну степень. Применение первых двух формул (4), (5) осложняется тем, что в левой их части под знаком логарифма находится каждое из выражений F(x) и G(x), а в правой только их произведение или частное, которое может быть положительным также при отрицательных значениях F(x) и G(x). Поэтому, при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного следует добавить ограничения на неизвестную величину, связанные с расширением ОДЗ. Количество таких ограничений зависит от вида самих выражений F(x) и G(x), но в любом случае заведомо достаточно потребовать положительности обоих этих выражений (на самом деле даже одного из них, коль скоро их произведение или частное все еще находится под знаком логарифма).

Внесение множителя под знак логарифма и возведение степени в степень. Эти операции предполагают использование формул.

Не следует забывать о том, что если выражение F(x) представляет собой четное число, то в левой части (9) формулы выражение G(x) обязано быть положительным, в то время как в правой части этой формулы оно должно быть всего лишь не равным нулю. Таким образом, при внесении множителя под знак логарифма может расширяться ОДЗ, в связи с чем возникает необходимость добавлять ограничения на неизвестную величину.

Таким образом, обратим внимание читателя на следующую психологическую особенность работы с логарифмическими и показательными уравнениями и неравенствами. Выпускники почему-то считают, что главная роль в решении таких задач отводится именно действиям с логарифмическими и показательными выражениями, а все остальные операции по сравнению с ними являются менее значительными. Так вот, по вашему убеждению, так называемых мелочей в каких-либо задачах не бывает. Например, неверное возведение в квадрат или извлечение корня при решении задачи представляют собой ничуть не менее грубую ошибку, чем, скажем, сужение ОДЗ при переходе к неизвестной log₂x. Любую задачу нужно решать правильно от начала и до конца, не расслабляясь после прохождения трудного, по мнению выпускника, этапа. 

Полный текст статьи см. в приложении.

1. file0.docx (72,3 КБ)

Опубликовано: 04.08.2025