В этом смысле особый интерес представляет рассмотрение таких фигур, у которых отдельные элементы непосредственным измерением найти нельзя, поскольку это не позволяют сделать либо возможности инструментов, либо особенности фигуры (некоторые ее элементы могут быть недоступны или исключены). В таком случае при решении задач на вычисление приходится очень часто прибегать к геометрическим построениям, исследованиям, доказательствам, в результате чего задача приобретает комплексный характер.

Фигуры с недостающими элементами дают широкие возможности для составления задач, требующих значительного теоретического багажа. Такие задачи представляют особую ценность при тематическом и обобщающем повторении, когда приходится повторять материал, уже известный учащимся, и потому не вызывающий такого интереса как новый.

Эти задачи являются также полезным дидактическим материалом для самостоятельных практических и лабораторных работ по геометрии. Для этой цели изготавливаются модели различных фигур с исключенными элементами. Эти пособия нумеруются и вместе с каталогом на них и указанием характеристик хранятся в кабинете математики. При проведении лабораторных работ учитель раздает учащимся модели фигур и формулирует задание. Ученики прямо на полученной модели выполняют необходимые построения, измерения, а результаты заносят в тетрадь. В тетради даются краткое описание хода работы, необходимые обоснования, доказательства и вычисления. После проверки учителем на модель наклеивается чистая бумага и пособие снова готово к использованию.

Вот некоторые примеры отдельных задач на геометрические фигуры с исключенными элементами.

Задача 1.

Определить, пользуясь линейкой и транспортиром, градусную меру углов четырехугольника, у которого все вершины исключены.

Решение:

Соединим две произвольные точки M и N, принадлежащие смежным сторонам четырехугольника. Получим треугольник, у которого одна сторона MN, а две другие АM и АN, где А одна из недоступных вершин четырехугольника. Тогда углы M и N треугольника АMN можно измерить, а третий угол (один из углов четырехугольника) – найти вычислением. Таким способом найдем три угла, а четвертый угол определим вычитанием из известной суммы углов четырехугольника суммы трех найденных углов.

При решении задач с исключенными элементами используются не только характеристические свойства фигур, но и геометрические преобразования, в частности параллельны перенос, симметрия, подобие.

Задача 2.

В модели трапеции, вырезанной из бумаги, оторваны все углы. Проведите доступные части диагоналей. Определите длины диагоналей трапеции.

Решение:

Выполним параллельный перенос боковых сторон трапеции. Из произвольной точки Е верхнего основания трапеции проведем ЕА₁ || АВ, ЕD || CD.

Точки H и F – середины ЕА₁ и ЕD₁. Проведем среднюю линию трапеции MN. Тогда MH + FN = ВС.

Имея среднюю линию и длину верхнего основания ВС можно ответить на вопрос задачи. На средней линии MN отложим отрезок LN, равный BC. Проведем LK || CD. BCDK – параллелограмм. На его диагонали BD лежит точка P – середина отрезка LN. Проведем PQ || CN и соединим точки Q и N. Диагональ BD проходит через точку Р параллельно QN. Но диагональ BCDK является одновременно диагональю трапеции. Значит отрезок BD искомый и BD = 2QN.

Аналогично определяется и вторая диагональ.

Полный текст статьи см. в приложении.